Математическая основа
Мы начинаем с общего уравнения теплопроводности, формулирующего непрерывное сохранение энергии в физическом веществе:
$$\frac{\partial}{\partial x} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( k \frac{\partial u}{\partial z} \right) = c \rho \frac{\partial u}{\partial t}$$
Здесь $u(x, y, z, t)$ представляет распределение температуры, а $k$, $c$ и $\rho$ — физические свойства среды. Хотя это уравнение красиво, переменные коэффициенты часто делают его аналитически нерешаемым.
Упрощение изотропии
Чтобы перейти к вычислениям, мы используем основное упрощающее ограничение: предположение о том, что изотропном теле.
Тело является изотропным если теплопроводность в каждой точке тела не зависит от направления потока тепла через эту точку.
При этом предположении $k$ становится постоянной относительно пространственных производных, позволяя упростить управляющий закон до известного формы Лапласа:
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{c \rho}{k} \frac{\partial u}{\partial t}$$
Мост к реальности
Рассмотрим длинный тонкий медный стержень длины $l$. Хотя исчисление позволяет записать элегантное дифференциальное уравнение второго порядка для распределения температуры, любые изменения в окружающей среде или внутреннем источнике тепла делают решение «на бумаге» почти невозможным. Вычислительный подход обусловлен необходимостью решать эти уравнения в реальных геометриях, которые не имеют замкнутых аналитических решений.